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湖南省高考数学理科试卷(有解析)

时间: 10-21     手机版

2014年湖南省高考数学理科试卷(有解析)
一.选择题.
1.满足 ( 是虚数单位)的复数 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得 ,故选B.
2. 对一个容量为 的总体抽取容量为 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 ,则( )
B. C. D.
3.已 知 分别是定义在 上的偶函数和奇函数,且 ,则
A. B. C. 1 D. 3

的展开式中 的系数是( )
B. C.5 D.20
【答案】A
【解析】第 项展开式为 ,
则 时, ,故选A.
已知命题 在命题
① 中,真命题是( )
A①③ B.①④ C.②③ D.②④

执行如图1所示的程序框图,如果输入的 ,则输出的S属于( )
B. C. D.


一块石材表示的几何体的 三视图如图2所示 ,将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B
【解析】最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 ,则 ,故选B.
某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 ,第二年的增长率为 ,则该市这
两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设两年的平均增长率为 ,则有 ,故选D.
已知函数 且 则函数 的图象的一条对称轴是
A. B. C. D.

已知函数 与 图象上存在关于 轴对称的点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.

二.填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,没小题5分,共25分.
(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
在平面直角坐标系中,倾斜角为 的直线 与曲线 ,( 为参数)交于 、 两点,且 , 以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 的极坐标方程是________.

如图3,已知 , 是 的两条弦, , , ,则 的半径等于______ __.


若关于 的不等式 的 解集为 ,则 ___ _____.
【答案】
【解析】由题可得 ,故填 .
(二)必做题(14-16题)
14.若变量 满足约束条件 ,且 的最小值为 ,则

15.如图4,正方形 和正方形 的边长分别为 ,原点 为 的中点,抛物线 经过 两点,则 .

【答案】
【解析】因为 在抛物线上,所以 ,故填 .
16.在平面直角坐标系中, 为原点, 动点 满足 =1,则
的最大值是_________.
17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 ,现安排甲组研发新产品 ,乙组研发新产品 .设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品 研发成功,预计企业可获得 万元,若新产品 研发成功,预计企业可获得利润 万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
所以 的分布列如下:








则数学期望 .
18.如图5,在平面四边形 中, .
(1)求 的值;
(2)若 , ,求 的长.


19.如图6,四棱柱 的所有棱长都相等, ,四边形 和四边形 为矩形.
(1)证明: 底面 ;
(2)若 ,求二面角 的余弦值.


底面 .

(2)法1::过 作 的垂线交 于点 ,连接 .不妨设四棱柱 的边长为 .
底面 且底面 面

面 ,从而 两两垂直,如图以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,

20.已知数列 满足 , .
(1)若 为递增数列,且 成等差数列,求 的值 ;
(2)若 ,且 是递增数列, 是递减数列,求数列 的通项公式.
【答案】(1) (2) 或
【解析】解:(1)因为数列 为递增数列,所以 ,则 ,分别令 可得 ,因为 成等差数列,所以 或 ,
当 时, 数列 为常数数列不符合数列 是递增数列,所以 .
21.如图7, 为坐标原点,椭圆 的左右焦点分别为 ,离心率为 ;双曲线 的左右焦点分别为 ,离心率为 ,已知 , 且 .
(1)求 的方程;
(2)过 点作 的不垂直于 轴的弦 , 为 的中点,当直线 与 交于 两点时,求四边形 面积的最小值.

,因为 在直线 的两端,所以 ,

22.已知常数 ,函数 .
(1)讨论 在区间 上的单调性;
(2)若 存在两个极值点 ,且 ,求 的取值范围.
(2)函数 的定义域为 ,由(1)可得当 时, ,则

 

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